楊振寧先生的數學貢獻丨慶賀楊振寧先生百歲華誕

2021年10月1日是楊振寧先生的百歲華誕。（楊先生實際年齡99歲，虛歲一百，官方文件上的生日是9月22日。）我們特發表此文，爲楊先生賀。

撰文 | 倪憶

楊振寧先生（1922.10.1— ）從來不認爲自己是一位數學家。事實上，楊先生曾經說過：“現今只有兩類數學著作。一類是你看完了第一頁就不想看下去了,另一類是你看完了第一句話就不想看下去了。”然而，楊振寧先生對現代數學有着廣泛而深遠的影響。在20世紀後半葉的物理學家裡，恐怕只有威騰（Edward Witten，1951— ）對數學的影響能夠跟楊先生相提並論。本文試圖對楊先生的數學貢獻作一些簡單介紹。需要說明的是，這裡涉及到許多非常深刻的數學，作者本人瞭解的僅僅是其中一小部分，錯漏之處在所難免，希望方家指正。

楊振寧所作題爲“20世紀數學與物理的分與合”的講座中的一頁圖片

楊-米爾斯理論

楊振寧先生最重要的成果是楊-米爾斯理論（Yang-Mills theory），這是一種非阿貝爾規範場論（nonabelian gauge theory）。規範場論的思想在麥克斯韋（James Maxwell，1831—1879）的電磁學理論裡便已經出現。1918年，外爾（Hermann Weyl，1885—1955）試圖統一電磁場和引力場，在場論中引入了一個尺度因子。這個尺度因子帶來了一定的冗餘度，需要選定一個“規範”（gauge）來剔除此冗餘度。外爾的這一嘗試並未成功，愛因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）高度評價其中的數學，卻強烈批評其中的物理。[1]

普林斯頓高等研究院在四十年代的一次會議，其中有愛因斯坦（左三）和外爾（右二）（圖源：高等研究院檔案）

外爾最初引入的尺度因子是正實數。量子力學興起後，外爾在1929年修改了他的規範場論，把尺度因子改成模長爲1的複數，用以描述電磁場。福克（Vladimir Fock，1898—1974）和倫敦（Fritz London，1900—1954）等人也在這一時期作出了類似發現。1941年，泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958）把規範場理論普及給物理學界。在數學裡，所有模長爲1的複數組成一個羣U(1)。這個羣被稱作外爾規範場論裡的規範羣。如果一個羣裡的乘法是可交換的，這個羣就被被稱作阿貝爾羣，反之就是非阿貝爾羣。例如大多數矩陣羣都是非阿貝爾羣，因爲乘法交換律對於矩陣乘法不成立。外爾理論裡的規範羣是阿貝爾羣，所以外爾理論是一個阿貝爾規範場論。我們知道，自然界中有四種基本力：電磁力、弱相互作用、強相互作用、萬有引力。外爾等人的工作把電磁力用U(1)規範場論來描述，而萬有引力的物理理論則是愛因斯坦的廣義相對論。1954年，楊振寧和米爾斯（Robert Mills，1927—1999）把規範場論裡的規範羣從U(1)改成二階正交酉矩陣羣SU(2)，建立了第一個非阿貝爾規範場論。楊振寧和米爾斯最初想用這一理論來描述強相互作用，但這並不正確。經過後來許多物理學家的努力，SU(2)規範場論被成功地用於描述弱相互作用。而強相互作用則需要使用規範羣爲SU(3)的規範場論，通常也被稱爲楊-米爾斯理論。

1999年，楊振寧與米爾斯在楊振寧退休慶祝會議上丨圖源：American Institute of Physics

統計學家斯蒂格勒（Stephen Stigler，1941— ）曾提出一個“斯蒂格勒定律”，即“沒有一個科學發現是以最初發現者的名字來命名”。斯蒂格勒定律本身就符合這一定律，因爲斯蒂格勒認爲這個定律是默頓（Robert Merton，1910—2003）首先提出的。楊-米爾斯理論也符合斯蒂格勒定律——泡利在1953年就得到了一個類似的理論。日本物理學家內山龍雄（1916—1990）爲了統一萬有引力和電磁力，在1954年獨立提出了非交換規範場論。他曾在京都大學作報告，但沒有得到聽衆的積極迴應。得知楊-米爾斯的工作後，內山龍雄在1955年把自己的論文修改成爲一個更廣泛的規範場論，並在1956年發表。比楊振寧和米爾斯稍晚，薩拉姆（Abdus Salam，1926—1996）的學生蕭（Ronald Shaw，1929—2016）在1955年也獨立發現了楊-米爾斯理論。

儘管泡利、內山、蕭都獨立於楊振寧和米爾斯得到了非交換規範場論，但楊振寧和米爾斯毫無疑問應當獲得最大的榮譽。泡利和蕭的工作都沒有發表，因爲他們對其中的物理圖景不甚明瞭。內山發表論文在楊-米爾斯之後，且受到楊-米爾斯的影響。只有楊振寧和米爾斯將這個尚存瑕疵的理論率先發表出來，讓後來者得以在此基礎上進行研究。一個經常被提到的故事是，當楊振寧在普林斯頓作楊-米爾斯理論的報告時，臺下的泡利不停地問他非阿貝爾規範玻色子的質量是什麼。泡利曾經深入研究過這一問題，知道質量應該是零，而這是不可能的。楊振寧回答說他不知道，但泡利一再追問。楊振寧認爲泡利的敵意過重，乾脆停止演講坐到臺下，場面一時十分尷尬。最後，奧本海默（J. Robert Oppenheimer，1904—1967）說，“我們應該讓楊振寧繼續講。”楊振寧纔回到講臺上，而泡利也沒有問更多的問題。[2]楊-米爾斯理論中的質量問題直到六十年代才通過希格斯機制得到解決。

1945年，泡利在普林斯頓高等研究院慶祝他的45歲生日丨圖源：CERN

楊振寧和米爾斯建立了楊-米爾斯理論的數學形式，其物理應用則應歸功於後來者。然而，與楊-米爾斯理論有關的數學成爲現代數學裡一個重要組成部分。1969年，楊振寧在紐約州立大學石溪分校講授一門廣義相對論課程。一天，他在黑板上寫下廣義相對論所需要用到的黎曼曲率張量公式，突然發現這個公式很像楊-米爾斯理論裡的一個公式。他十分震驚，便去請教數學系主任西蒙斯（James Simons，1938— ）。西蒙斯告訴他這兩個公式都是纖維叢（fiber bundle）上的聯絡（connection）。楊振寧被這一美妙的聯繫深深地震撼了。[3]

楊振寧與西蒙斯丨圖源：The Stony Brook Dialogues in Mathematics and Physics

1975年，楊振寧同吳大峻（1933— ）發表一篇論文，把纖維叢的數學語言翻譯爲楊-米爾斯理論的物理語言，引發了數學界和物理學界對彼此工作的濃厚興趣。這就是著名的吳-楊字典（Wu-Yang dictionary）。事實上，關於纖維叢與楊-米爾斯理論的關係，在吳-楊字典之前就有一些人提到。例如赫爾曼（Robert Hermann， 1931—2020）在1970年的一本專著中對此有詳細闡述。但此類工作沒有產生吳-楊字典那樣的影響，這或許也可以算作斯蒂格勒定律的一個例子。

吳-楊字典丨圖源：I. M. Singer, Some problems in the quantization of gauge theories and string theories）

七十年代後期，辛格（Isadore Singer，1924—2021）把吳-楊字典介紹給數學界，引發了數學家們學習楊-米爾斯理論的熱潮。一大批嶄新的數學工作得以誕生，爲數學發展提供了新的動力。以下簡要介紹其中一部分。

楊-米爾斯理論中出現了一個偏微分方程

被稱爲楊-米爾斯方程。1974年，楊振寧訪問其父楊武之（1896—1973）生前任教的復旦大學。他同谷超豪（1926—2012）、胡和生（1928— ）等人談起楊-米爾斯理論中的數學問題。雙方展開合作，在國際上率先對楊-米爾斯方程進行研究，解決了該方程的許多基本問題。

1974年，谷超豪（左一）、胡和生（左二）與楊振寧開始合作研究規範場論（圖源：中國科學報）

1977-1978年，阿蒂亞（Michael Atiyah，1929—2019）、希欽（Nigel Hitchin，1946— ）和辛格證明了四維球面上楊-米爾斯方程的解的模空間是一個流形，並用指標定理計算了其維數。1978年，阿蒂亞、希欽、德林菲爾德（Vladimir Drinfeld，1954— ）、馬寧（Yuri Manin，1937— ）四人合寫一篇論文，完全確定了這一模空間。

1982年，烏倫貝克（Karen Uhlenbeck，1942— ）證明了楊-米爾斯方程解的許多基本性質，包括（四維的）可去奇點定理和（任意維數的）緊性定理。田剛（1958— ）和陶哲軒（1975— ）後來把可去奇點定理推廣到了高維。

烏倫貝克於1969年在伯克利丨圖源：Oberwolfach Photo Collection

1982年，陶布斯（Clifford Taubes，1954— ）發現了一種新的構造楊-米爾斯方程解的方法，對於一大類四維流形證明了解的存在性。複流形上楊-米爾斯方程的研究始於阿蒂亞和博特（Raoul Bott，1923—2005）在八十年代初的工作。小林昭七（1932—2012）和希欽猜測複流形上楊-米爾斯方程的解跟向量叢的穩定性有關，這一猜想被唐納森（Simon Donaldson，1957— ）、烏倫貝克和丘成桐（1949— ）解決。受此啓發，丘成桐對複流形的凱勒-愛因斯坦度量作出類似猜想。田剛和唐納森進一步闡述了丘成桐的猜想，引入了K-穩定性的概念，在復幾何和代數幾何領域起到了核心作用。

1982年，丘成桐、阿蒂亞和希欽丨圖源：Oberwolfach Photo Collection

希欽在1987年定義了一維複流形上的希格斯叢，並研究了其上的楊-米爾斯方程。辛普森（Carlos Simpson，1962— ）把希欽的工作推廣到了高維。希格斯叢是近年來幾何拓撲領域的研究熱點，並且在數論和表示論中得到了出乎意料的應用。吳寶珠（1972— ）使用希欽的工作證明了朗蘭茲綱領中的“基本引理”，並因此獲得2010年菲爾茲獎。1986年菲爾茲獎得主法爾廷斯（Gerd Faltings，1954— ）開創了p進數域上希格斯叢的研究。卡普斯金（Anton Kapustin，1971— ）和威騰則使用希欽的工作（及其推廣）來研究幾何朗蘭茲綱領。楊-米爾斯方程最著名的數學應用是在低維拓撲領域。1983年，在烏倫貝克和陶貝斯工作的基礎上，唐納森使用楊-米爾斯方程研究四維流形的微分拓撲，取得了令人驚異的結果。把唐納森和弗裡德曼（Michael Freedman，1951— ）的工作結合起來，能夠證明四維空間R^4上有怪異的微分結構，而這一點對其餘維數的歐氏空間不成立。唐納森後來進一步發展了他的理論，定義了光滑四維流形的不變量。唐納森因此獲得1986年菲爾茲獎。

2009年，唐納森（右二）和陶貝斯（右三）獲得邵逸夫數學獎丨圖源：中國政府網

1988年，弗洛爾（Andreas Floer，1956—1991）把唐納森理論發展到了三維流形上，定義了瞬子同調論。1998年，唐納森和他的學生托馬斯（Richard Thomas）使用SU(4)規範場論來研究卡拉比-丘三維複流形。2006年菲爾茲獎得主奧昆科夫（Andrei Okounkov，1969— ）和他的合作者們對唐納森-托馬斯理論有重要貢獻。唐納森理論的思想如今在低維拓撲、辛幾何、代數幾何、復幾何等許多領域裡都佔據着主導地位，其後續發展包括格羅莫夫-威騰理論、塞伯格-威騰理論等等，儘管楊-米爾斯方程在這些理論裡已經不再出現。楊-米爾斯方程在低維拓撲裡的另外一個應用跟瓊斯多項式有關，這是瓊斯（Vaughan Jones，1952—2020）在1984年發現的一個新的紐結不變量。威騰在1989年指出，瓊斯多項式可以用楊-米爾斯理論來解釋。威騰的思想被雷希蒂欣（Nicolai Reshetikhin，1958— ）和圖拉耶夫（Vladimir Turaev，1952— ）發展爲嚴格的數學理論，可以用來構造一般三維流形的不變量。近二十年來，瓊斯多項式的一個推廣——霍瓦諾夫同調論（Khovanov homology）——成爲低維拓撲裡的研究熱點。威騰同樣用楊-米爾斯理論給出了霍瓦諾夫同調論的一種解釋，引發了許多數學家的關注。

楊-巴克斯特方程

楊振寧另外一項對數學有深遠影響的工作是楊-巴克斯特方程。這是一個形如

的矩陣方程，涉及了非線性可積物理模型的嚴格解。

楊-巴克斯特方程最早可以追溯到昂薩格（Lars Onsager，1903—1976）在1944年關於二維伊辛模型的工作，其中使用了星形-三角形方程。[4]1963年，UCLA的一名博士生麥奎爾（James B. McGuire，1934—2019）在研究一維量子多體問題時發現了類似的矩陣方程。楊振寧在1963年訪問UCLA時，跟麥奎爾討論了一維量子多體問題。當時楊振寧已經是名滿天下的諾貝爾獎得主，而麥奎爾僅僅是一個博士尚未畢業的無名小卒，然而楊振寧並未因此輕視麥奎爾的工作。受到麥奎爾的啓發，楊振寧在1967年和1968年的兩篇論文裡提出了現今形式的楊-巴克斯特方程。後來巴克斯特（Rodney Baxter，1940— ）在1971年和1972年的兩篇統計力學論文裡也獨立發現了此方程。

楊振寧與巴克斯特在楊振寧退休慶祝會議上丨圖源：Symmetry and Modern Physics - Yang Retirement Symposium, 1999

七十年代末，法捷耶夫（Ludvig Faddeev，1934—2017）領導的蘇聯數學物理學派將這一方程命名爲楊-巴克斯特方程，並深入研究其在數學和物理裡的應用。受他們工作的影響，德林菲爾德和神保道夫（1951— ）開始了“量子羣”的研究。德林菲爾德甚至將一類量子羣命名爲“楊代數”（Yangian），以紀念楊振寧的貢獻。楊-巴克斯特方程可以看作是數學中“辮羣”的一個基本關係，能夠用如下“辮子”的圖像來表示。

上圖中的辮子關係在紐結的瓊斯多項式裡起到重要作用。圖拉耶夫發現，包括瓊斯多項式在內的許多紐結不變量都可以從楊-巴克斯特方程的解得到。雷希蒂欣和圖拉耶夫進一步的工作則是使用量子羣來構造紐結不變量。

西蒙斯幾何與物理中心的牆上鐫刻着一些基本的物理公式，圖中左下角即楊-巴克斯特方程丨圖源：西蒙斯幾何與物理中心

1990年四位菲爾茲獎得主中，德林菲爾德、瓊斯和威騰的（部分）獲獎工作都跟楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程有密切關係。森重文（1951— ）是一位代數幾何學家，他的獲獎工作跟物理沒有直接聯繫。近年來許晨陽（1981— ）等人的工作把森重文開創的極小模型綱領同K-穩定性結合起來，而K-穩定性很大程度上是受楊-米爾斯理論啓發而建立起來的。

1990年四位菲爾茲獎得主，左起：威騰、森重文、瓊斯、德林菲爾德丨圖源：ICM2002.org.cn

李-楊單位圓定理

李政道與楊振寧在1952年發表了兩篇統計力學方面的論文，其中證明了某一類配分函數的零點都在單位圓上，這就是著名的李-楊單位圓定理。愛因斯坦對這一工作非常感興趣，邀請李楊二人到他的辦公室去討論了一個半小時。[5]李-楊定理依賴於一個純數學結果，即某一類多項式所有零點都在單位圓上。爲了證明這一結果，李楊二人翻閱了哈代（G. H. Hardy，1877—1947）、李特爾伍德（John Littlewood，1885—1977）、波利亞（George Pólya，1887—1985）所著的《不等式》一書，還諮詢了馮·諾伊曼（John von Neumann，1903—1957）和塞爾伯格（Atle Selberg，1917—2007）等同事。卡茨（Mark Kac，1914—1984）當時在普林斯頓高等研究院訪問，他聽到李楊的問題後，立刻想到了波利亞一篇關於黎曼假設的論文，並用其中的方法證明了李楊所需結果最簡單的情形。卡茨將此事告知了李楊。受此啓發，楊振寧和李政道繼續研究了幾個星期，終於用卡茨的方法以及數學歸納法證明了最廣泛的情形。[6]

1957年，李政道和楊振寧在普林斯頓高等研究院丨圖源：IAS Archives

李-楊單位圓定理是統計力學裡的重要工作，但它對數學的影響遠不能同楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程相提並論。然而，這個定理的敘述跟黎曼假設非常相像。如果作一個變量替換，就能把李-楊定理敘述成：某一類配分函數的零點都在虛軸上。黎曼假設說的是黎曼ζ函數

的非平凡零點都在直線Re(s)=1/2上。故此，有一部分數學家希望能夠把黎曼ζ函數表示爲某個物理系統的配分函數，從而研究黎曼假設。（用物理方法研究黎曼假設是當前的一個流派，這方面更常見的工作是將量子力學與黎曼ζ函數聯繫起來。）

楊振寧的純數學工作

楊振寧曾多次表示，如果自己不做物理，一定會去做數學。[5,7]事實上，除了數學物理方面的衆多成果以外，楊振寧也發表過一些純數學論文。這些工作對於楊振寧這樣的科學巨人來說無足輕重。然而，從這些論文中可以看出，跟許多其他理論物理學家不同，楊振寧也可以有跟數學家一樣的品味，使用跟數學家一樣的語言。楊振寧發表的第一篇論文就是純數學論文。這是他在西南聯大時寫的，題爲“On the uniqueness of Young's differentials”（Young微分的唯一性），1944年發表在《美國數學會通報》（Bulletin of the American Mathmatical Society）上。這篇論文的水平不高，楊振寧對它也很不滿意。楊振寧最初僅僅是把它當作學習微積分的課外練習，幾年後纔在授課老師曾遠榮（1903—1994）的建議下投寄出去發表。[8]楊振寧的父親楊武之教授在芝加哥大學獲得博士學位，歸國後任教於清華大學數學系，是中國數論研究的先驅。在楊武之的博士論文裡，他考慮了華林問題的一個變種：求最小的k，使得任何一個自然數能夠表示爲最多k個“金字塔數”之和。這裡的“金字塔數”指形如

的數。楊武之證明了k不超過9，這一結果後來被人改進爲8。

幼年楊振寧與父母丨圖源：香港中文大學

1993年，楊振寧和鄧越凡（1962— ）用計算機研究了這一問題，發現十億以內的自然數都能表示爲至多5個金字塔數之和，並且其中足夠大的數表示爲至多4個金字塔數之和。據此，他們猜想足夠大的自然數都能表示爲至多4個金字塔數之和。他們進一步猜想了能表示爲至多k個金字塔數之和的自然數的個數的漸進公式。

楊振寧與陳省身

陳省身（1911—2004）和楊振寧兩位先生是二十世紀華人科學家中的翹楚。他們兩人私交甚篤，在學術上也有密切聯繫。陳省身1930-1934年間在清華大學擔任助教和攻讀研究生，同楊武之教授有師生之誼。陳省身與夫人鄭士寧的婚事就是楊武之夫婦介紹的。陳省身曾多次到楊武之家中吃飯，見到過年僅八歲的楊振寧，但楊振寧對陳省身並無印象。[3,9]後來楊振寧在西南聯大求學期間，曾經選修過陳省身開設的多門課程，包括微分幾何。[3]

陳省身是纖維叢和聯絡理論的主要推動者。他的陳-韋伊理論把楊-米爾斯方程中的曲率項同陳示性類聯繫起來，而陳-西蒙斯理論也跟楊-米爾斯理論密不可分。1975年，理解了楊-米爾斯理論與纖維叢的關係後，楊振寧驅車到陳省身家中，同他談起此事，說：“這既令我驚訝，也令我迷惑不解，因爲你們數學家憑空夢想出這些概念。”陳省身當即提出異議：“非也，非也，這些概念並非是憑空夢想出來的，它們既是自然的，也是實在的。”[3]

陳省身與楊振寧丨圖源：楊振寧文集

陳省身先生1985年在南開大學創建了南開數學研究所，他邀請楊振寧於1986年在所內建立了理論物理研究室。經楊振寧推薦，葛墨林（1938— ）具體負責理論物理研究室的工作。這一研究室主要的研究方向便是與楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程相關的數學。

楊振寧在七十年代寫下一首詩《贊陳氏級》，在數學與物理學界廣爲流傳：

天衣豈無縫，匠心剪接成。

渾然歸一體，廣邃妙絕倫。

造化愛幾何，四力纖維能。

千古寸心事，歐高黎嘉陳。

其中最後一句稱讚陳省身是可以與歐幾里得（Euclid，公元前3世紀）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）、黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）、嘉當（Élie Cartan，1869—1951）並肩的幾何學家。

2002年，江才健出版了《楊振寧傳-規範與對稱之美》。陳省身先生也賦詩一首作爲序言：

以詩代序

愛翁初啓幾何門，楊子始開大道深。物理幾何是一家，炎黃子孫躋西賢。注：愛因斯坦的廣義相對論將物理釋爲幾何。規範場論作成大道，令人鼓舞。

兩位大師儘管身處不同領域，但他們的偉大工作相得益彰，堪稱佳話。

楊振寧丨攝影：鄧偉

參考文獻

[1] 張天蓉，外爾與楊振寧——物理的真與數學的美 | 量子羣英會

[2] Mikhail Shifman，非阿貝爾規範場的起源與爭執：關於泡利與楊振寧的軼事

[3] 張奠宙，楊振寧如何看待數學與物理

[4] Helen Au-Yang and Jacques H. H. Perk, Onsager's Star-Triangle Equation: Master Key to Integrability, Advanced Studies in Pure Mathematics 19, 1989 Integrable Systems in Quantum Field Theory and Statistical Mechanics

[5] 劉鈍、王浩強訪問整理，愛因斯坦、物理學和人生——楊振寧先生訪談錄

[6] Mark Kac， Comments on G. Pólya's "Bemerkung uber die integraldarstellung der Riemannschen zeta-funktion"

[7] 華東師範大學數學科學學院，楊振寧專程看望數學科學學院張奠宙先生

[8] 施鬱，楊振寧對西南聯大的新回憶

[9] 陳省身，我與楊家兩代的因緣

本文經授權轉載自微信公衆號“普林小虎隊”。