現實的模式
轉載聲明：除調整格式外，不得對原文做改寫、改編。原創不易，謝謝！E-mail:yellow@aliyun.com
♥聲明：本文爲原創文本，非生成式，轉載請註明出處！
商務諮詢/顧問/請@yellowscholar♥作者：黃先生斜槓青年
#時間深度 #邏輯和概率 #思想史 #思想家和理論
通過：由霍頓圖書館/哈佛大學提供
有些人認爲邏輯總有一天會完成，它的所有問題都會得到解決。現在我們知道這是一項無休止的任務
張三要麼在家，要麼在辦公室。他不在家。他在哪裡？ 你可能會想爲什麼我從這樣一個令人費解的謎題開始。但在解決它時，您已經使用了邏輯。你從“張三 要麼在家要麼在辦公室”和“他不在家”這個前提中正確推理，得出“張三 在辦公室”的結論。這似乎沒什麼大不了的，但無法採取這一行動的人會遇到麻煩。我們需要邏輯來將不同的信息放在一起，有時來自不同的來源，並提取它們的後果。通過將邏輯推理的許多小步驟鏈接在一起，我們可以解決更難的問題，就像在數學中一樣。
邏輯的另一個角度是它與不一致有關。想象一下，有人說出所有三個陳述“張三要麼在家，要麼在辦公室”，“他不在家”，“他不在辦公室”（大約同一個人在同一時間）。這些陳述是不一致的;它們不可能一起都是真的。其中任何兩個都是真的，但它們排除了第三個。當我們發現某人所說的不一致時，我們往往會停止相信他們。邏輯對於我們檢測不一致的能力至關重要，即使我們無法準確解釋出了什麼問題。通常，它比那個例子要隱藏得更深。發現所說的不一致之處可以讓我們弄清楚某個親戚是困惑的，還是某個公衆人物在撒謊。邏輯是對zheng客言論的一種基本檢查。
我是斜槓青年，一個PE背景的雜食性學者！♥致力於剖析如何解決我們這個時代的重大問題！♥使用數據和研究來了解真正有所作爲的因素！
爲了用最簡單的形式來表達你的推理模式，你從前提 'A 或 B' 和 '不是 A' 到結論 'B'。演繹動作全部在兩個簡短的詞 'or' 和 'not' 中。你如何填寫 'A' 和 'B' 在邏輯上無關緊要，只要你不引入歧義就行。如果 'A 或 B' 和 '非 A' 都是真的，那麼 'B' 也是真的。換句話說，這種形式的論證在邏輯上是有效的。它的技術術語是析取三段論。無論你是否知道，你一生中的大部分時間都在應用析取三段論。
所有圖片由霍頓圖書館/哈佛大學提供
除了少數特殊情況外，邏輯無法告訴你論證的前提或結論是否正確。它無法告訴您 張三 是否在家，或者他是否在辦公室，或者他是否不在這兩個地方。它告訴你的是他們之間的聯繫;在一個有效的論證中，邏輯排除了前提都是真的而結論是假的組合。即使你的前提是錯誤的，你仍然可以以邏輯上有效的方式從中推理——也許我最初關於 張三 的說法是完全錯誤的，他實際上在火車上。
論證形式的邏輯有效性取決於邏輯詞：除了 'or' 和 'not' 之外，它們還包括 'and'、'if'、'some'、'all' 和 'is'。例如，從“所有毒菌都是有毒的”和“這是毒菌”到“這是有毒的”的推理說明了一種有效的論證形式，我們在將常識或信念應用於特定情況時會使用這種論證形式。另一種形式的論證的數學實例是從 'x 小於 3' 和 'y 不小於 3' 到 'x 不是 y'，這涉及到邏輯原則，即只有當事物具有相同的屬性時，它們纔是相同的。
在日常生活中，甚至在許多科學中，我們很少或根本沒有有意識地關注邏輯詞在我們的推理中的作用，因爲它們沒有表達我們對推理的興趣。我們關心 張三 在哪裡，而不是析取，即 'or' 所表達的邏輯運算。但是如果沒有這些合乎邏輯的詞語，我們的推理就會分崩離析;交換 'some' 和 'all' 會將許多有效參數轉換爲無效參數。邏輯學家的利益正好相反;他們關心 分離 是如何工作的，而不是 張三 在哪裡。
哲學家有時會落入這個陷阱，認爲邏輯沒有什麼可以發現的了
邏輯學在古代世界已經被研究過，在希臘、印度和東大。在普通推理中識別有效或無效的論證形式是困難的。我們必須退後一步，從我們通常認爲最感興趣的事物中抽離出來。但這是可以做到的。這樣，我們就可以揭示覆雜論點的邏輯微觀結構。
例如，這裡有兩個參數：
“所有的zheng客都是罪犯，有些罪犯是騙子，所以有些zheng客是騙子。”
“有些zheng客是罪犯，所有罪犯都是騙子，所以有些zheng客是騙子。”
結論從邏輯上遵循這些論點之一的前提，而不是另一個論點。你能弄清楚哪個是哪個嗎？
當一個人只看這些普通的情況時，人們會得到這樣的印象，即邏輯需要處理的論證形式有限，因此一旦它們都被正確地歸類爲有效或無效，邏輯就完成了它的任務，除了將其結果傳授給下一代。哲學家有時會落入這個陷阱，認爲邏輯沒有什麼可以發現的。但現在我們知道，邏輯永遠無法完成它的任務。無論邏輯學家解決了什麼問題，總會有新的問題需要他們解決，而這些問題不能簡化爲已經解決的問題。要理解邏輯學是如何成爲這個開放式的研究領域，我們需要回顧它的歷史是如何與數學的歷史交織在一起的。
人類歷史上最持久和最成功的邏輯推理傳統是數學。它的結果也適用於自然科學和社會科學，因此這些科學最終也依賴於邏輯。
數學陳述需要從第一性原理來證明的想法至少可以追溯到歐幾里得的幾何學。儘管數學家通常更關心他們推理的數學回報，而不是其抽象結構，但要達到這些回報，他們必須將邏輯推理髮展到前所未有的力量。
摘自奧利弗·伯恩 （Oliver Byrne） 的《歐幾里得元素的前六本書》（1867 年）。公有土地
一個例子是 reductio ad absurdum 原則。這就是人們通過假設結果不成立並得出矛盾來證明結果的方法。例如，要證明有無限多的素數，首先假設相反的情況，即存在一個最大的素數，然後從該假設中得出相互矛盾的結果。在一個複雜的證明中，人們可能不得不在假設中做出假設;要跟蹤這種精心設計的辯證結構，需要對正在發生的事情有一個安全的邏輯把握。
有一種趨勢是將數學簡化爲算術中的邏輯結構
隨着數學在 19 世紀變得越來越抽象和普遍，邏輯也隨之發展。George Boole 開發了現在所謂的“布爾代數”，它基本上是 'and'、'or' 和 'not' 的邏輯，但同樣是類的交集、並集和互補運算。事實證明，它還對電子電路、AND 門、OR 門和 NOT 門的構建塊進行建模，並在數字計算的歷史上發揮了重要作用。
布爾邏輯有其侷限性。特別是，它沒有涵蓋 'some' 和 'all' 的邏輯。然而，這些詞的複雜組合在嚴格的數學定義中發揮着越來越大的作用，例如數學函數是“連續的”意味着什麼，以及無論如何都是“函數”意味着什麼，這些問題導致了 19 世紀初數學的混淆和不一致。
19 世紀後期見證了一種日益增長的趨勢，通過將數學簡化爲算術的邏輯結構，即自然數理論——通過反覆加 1 從 0 得出的理論——在加法和乘法等運算下。然後，數學家理查德·戴德金 （Richard Dedekind） 展示瞭如何通過重複應用給定的運算（0、1、2、3 等）將算術本身簡化爲從給定起點生成的所有序列的一般理論。這個理論非常接近邏輯。他對操作施加了兩個約束：首先，它永遠不會爲不同的輸入輸出相同的結果;其次，它永遠不會輸出原始起點。給定這些約束，結果序列不能循環回自身，因此必須是無限的。
Dedekind 項目最棘手的部分是證明甚至有一個這樣的無限序列。他不想把自然數視爲理所當然，因爲算術是他試圖解釋的。相反，他提出了一個序列，其起點（代替 0）是他自己的自己，並且其生成操作（代替加 1）從任何可思考的輸入中構建了他可以考慮該輸入的想法。至少可以說，他在證明中提到了他自己的自我和關於思考能力的想法，這是出乎意料的。它感覺不像普通的數學。但是，還有誰能做得更好，使算術完全嚴格呢？
一個自然的想法是將算術，也許是數學的其餘部分，簡化爲純粹的邏輯。一些部分減少很容易。例如，採用方程 2 + 2 = 4。應用於物理世界，它對應於這樣的論點（關於一碗水果）：
正好有兩個蘋果。
正好有兩個橙子。
沒有蘋果是橙子。
因此：
正好有四個蘋果和橙子。
像“正好兩個”這樣的短語可以翻譯成純粹的邏輯術語：“正好有兩個蘋果”等同於“有一個蘋果，還有另一個蘋果，沒有更多的蘋果”。一旦整個論點被翻譯成這樣的術語，結論就可以通過純粹的邏輯推理從前提出發嚴格地推導出來。此過程可以推廣到任何涉及特定數字（如 '2' 和 '4'）的算術方程式，甚至是非常大的數字。數學的這種簡單應用可以歸結爲邏輯。
然而，這種簡單的簡化還遠遠不夠。數學還涉及泛化，例如“如果 m 和 n 是任何自然數，則 m + n = n + m”。簡單的簡化無法處理這種普遍性。需要一些更通用的方法將算術簡化爲純邏輯。
戈特洛布·弗雷格 （Gottlob Frege） 做出了關鍵貢獻，他的工作比戴德金的稍早，儘管當時要低調得多。弗雷格發明了一種全新的符號語言來編寫邏輯證明，併爲此創造了一個正式的演繹規則系統，因此可以嚴格檢查系統中任何所謂的證明的正確性。他的人工語言可以表達的比以前的任何邏輯象徵都多得多。高等數學中定義和定理的結構複雜性第一次可以用純粹的形式術語來表達。在這個形式系統中，Frege 展示瞭如何將自然數理解爲來自具有相同成員的集合的抽象。例如，數字 2 是所有恰好具有兩個成員的集合的共同點。兩個集合的成員數量相等，當它們的成員之間存在一對一的對應時。實際上，Frege 談論的是“概念”而不是“集合”，但這種差異對我們的目的並不重要。
R 是否是一個不是自身成員的集合？如果是，那就不是，如果不是，那就是：不一致！
事實證明，弗雷格的邏輯語言對哲學家、語言學家和數學家來說是無價的。例如，以簡單的論點“每匹馬都是動物，所以每匹馬的尾巴都是動物的尾巴”。早在弗雷格之前，它就已經被認爲是有效的，但需要弗雷格邏輯來分析其底層結構並正確解釋其有效性。今天，哲學家經常用它來分析更棘手的論點。語言學家使用一種可以追溯到 Frege 的方法來解釋複雜句子的含義如何由其組成詞的含義以及它們如何組合在一起。
弗雷格對嘗試將數學簡化爲邏輯的貢獻比任何人都大。到 20 世紀初，他似乎已經成功了。然後，伯特蘭·羅素 （Bertrand Russell） 發來了一份簡短的註釋，指出了弗雷格重建數學的邏輯公理中隱藏的不一致之處。這個消息再糟糕不過了。
這個矛盾最容易用集合來解釋，但用弗雷格術語來說，它的類似物同樣是致命的。要理解它，我們需要退後一步。
在數學中，一旦我們弄清楚了“三角形”的含義，我們就可以談論所有三角形的集合：它的成員只是三角形。同樣，由於我們所說的“非三角形”的含義同樣清楚，我們應該能夠討論所有非三角形的集合：它的成員只是非三角形。這兩個集合之間的一個區別是，所有三角形的集合不是自身的成員，因爲它不是三角形，而所有非三角形的集合是自身的成員，因爲它是非三角形。更一般地說，只要我們所說的 “X” 的含義很清楚，就有所有 X 的集合。這個關於集合的自然原則被稱爲“不受限制的理解”。弗雷格的邏輯包括一個類似的原則。
既然我們所說的 '集合不是自身的成員' 的意思很清楚，我們可以在無限制理解原則中用它代替 'X'。因此，存在不是自身成員的所有集合的集合。將該集合稱爲 'R' （代表 'Russell'）。R 是自己的成員嗎？換句話說，R 是否是一個不是自身成員的集合？反思很快就會表明，如果 R 是自身的成員，那麼它就不是，如果不是，那就是：不一致！
這個矛盾就是羅素悖論。它表明不受限制的理解一定有問題。儘管許多集不是其自身的成員，但沒有一個 set 的 set 不是其自身的成員。這就提出了一個普遍的問題：我們什麼時候可以開始討論所有 X 的集合？什麼時候有一組全 X？這個問題對當代數學很重要，因爲集合論是它的標準框架。如果我們永遠無法確定是否有一套可供我們討論，我們該如何進行？
奧吉亞學家和數學家已經探索了許多限制理解原則的方法，這些方法足以避免矛盾，但又不會妨礙正常的數學研究。在他們的鉅著《數學原理》（Principia Mathematica，1910-13 年）中，羅素和阿爾弗雷德·諾斯·懷特海 （Alfred North Whitehead） 施加了非常嚴格的限制以恢復一致性，同時仍然保留足夠的數學能力來執行弗雷格項目的變體，將大部分數學簡化爲一致的邏輯系統。但是，對於正常的數學目的來說，它太麻煩了。數學家現在更喜歡一個更簡單、更強大的系統，它與 Ernst Zermelo 的 Russell 的系統大約同時設計，後來由 Abraham Fraenkel 增強。基本概念稱爲“迭代”，因爲 Zermelo-Fraenkel 公理描述瞭如何通過迭代集合構建操作來獲得越來越多的集合。例如，給定任何集合，都有其所有子集的集合，這是一個更大的集合。
集合論被歸類爲數理邏輯的一個分支，而不僅僅是數學的一個分支。這很貼切，原因有幾個。
首先，像 'or'、'some' 和 'is' 這樣的核心邏輯詞的含義具有一種抽象的結構通用性;這樣，'set' 和 'member of' 的含義是相似的。
其次，集合論的大部分內容都涉及一致性和不一致的邏輯問題。它最大的成果之一是連續體假說 （CH） 的獨立性，它揭示了當前邏輯和數學的公理和原則的主要侷限性。CH 是關於不同無限集的相對大小的自然猜想，由集合論的創始人 Georg Cantor 於 1878 年首次提出。1938 年，庫爾特·哥德爾 （Kurt Gödel） 證明 CH 與標準集論一致（假設後者本身是一致的）。但在 1963 年，Paul Cohen 表明 CH 的否定也與標準集論一致（同樣，假設後者是一致的）。因此，如果標準集合論是一致的，它既不能證明也不能反駁 CH;它在這個問題上是不可知論的。一些集合論者一直在尋找合理的新公理，以添加到集合論中，以某種方式解決 CH，但到目前爲止收效甚微。即使他們找到了一個，強化集合論仍然對一些進一步的假設是不可知的，依此類推，無限期。
形式邏輯框架中的證明仍然是黃金標準，即使您從未見過金條
在職數學家可以使用集合，而不必擔心不一致的風險，也無需檢查他們的證明是否可以在標準集合論中進行。幸運的是，他們通常可以。那些數學家就像那些過着不顧法律的生活，但實際上習慣是守法的人。
1925 年的庫爾特·哥德爾 （Kurt Gödel）。由維基百科提供
儘管集合論並不是唯一可以想象的數學框架，但任何替代框架都會出現類似的問題：需要限制來阻止羅素悖論的類似物，並且其嚴格的發展將涉及複雜的邏輯問題。
通過研究數學證明和形式邏輯之間的關係，我們可以開始理解邏輯和計算機科學之間的一些更深層次的聯繫：邏輯很重要的另一種方式。
數學中的大多數證明都是半正式的;它們以數學和邏輯符號、圖表以及英語或其他自然語言的混合形式呈現。根本的公理和第一性原理沒有被提及。然而，如果有能力的數學家質疑證明中的某個點，他們會要求作者填補缺失的步驟，直到很明顯推理是合法的。假設是，任何可靠的證明原則上都可以完全形式化和邏輯嚴謹，儘管在實踐中幾乎不需要完全形式化，並且可能涉及數千頁的證明。形式邏輯框架中的證明仍然是黃金標準，即使您個人從未見過金條。
形式證明的標準與計算機對數學證明的檢查密切相關。一個普通的半正式證明不能按原樣進行機械檢查，因爲計算機無法評估將更正式的部分結合在一起的散文敘述（當前的 AI 不夠可靠）。相反，需要的是校對程序和人類數學家之間的互動過程：程序反覆要求人類澄清定義和中間步驟，直到它能找到一個完全正式的證明，或者人類發現自己不知所措。所有這些都可能需要幾個月的時間。即使是最優秀的數學家也可以使用交互式過程來檢查複雜的半形式化證明的有效性，因爲他們知道一個出色的、完全令人信服的證明策略被證明取決於一個微妙的錯誤。
從歷史上看，邏輯和計算之間的聯繫遠不止於此。1930 年，哥德爾發表了一個演示，證明對於大部分邏輯，即一階邏輯，有一個健全而完整的證明系統。對於許多目的，一階邏輯就是人們所需要的。從任何可證明的公式都是有效的意義上說，該系統是合理的（在所有模型中都是如此）。該系統也是完整的，因爲任何有效的公式都是可證明的。原則上，系統提供了一種自動列出語言所有有效公式的方法，即使有無限多的公式，因爲系統中的所有證明都可以按順序列出。儘管這個過程是無止境的，但任何給定的有效公式遲早會出現（也許在我們的有生之年不會）。這似乎爲我們提供了一種原則上確定任何給定公式是否有效的自動方法：只需等待看看它是否出現在列表中即可。這對於有效的公式來說很好，但是無效的公式呢？你坐在那裡，等待公式。但是，如果它還沒有出現，你怎麼知道它是會在以後出現，還是永遠不會出現呢？最大的懸而未決的問題是決策問題：是否有一種通用算法，給定語言的任何公式，它會告訴你它是否有效？
幾乎同時在 1935-36 年，美國的 Alonzo Church 和英國的 Alan Turing 證明了這樣的算法是不可能的。要做到這一點，他們首先必須非常努力和創造性地思考算法到底是什麼，一種純粹機械的逐步解決問題的方式，不留任何自由裁量權或判斷的餘地。爲了更具體地說，圖靈提出了一種虛構的通用計算機器的精確描述，它原則上可以執行任何算法。他證明，沒有這樣的機器可以應對決策問題的挑戰。實際上，他發明了計算機（儘管當時“計算機”這個詞被用來指代以計算爲工作的人;一位哲學家喜歡指出他娶了一臺計算機）。幾年後，圖靈製造了一臺電子計算機，在第二次世界大戰期間實時破解德國密碼，爲在北大西洋擊敗德國 U 型潛艇做出了重大貢獻。筆記本電腦上的程序是“爲什麼邏輯很重要”這個問題的一個實用答案。
另類邏輯學家比一般的陰謀論者要理性得多
自圖靈以來，邏輯和計算一直在相互作用。編程語言在結構上與邏輯學家的形式語言密切相關。邏輯的一個蓬勃發展的分支是計算複雜性理論，它不僅研究給定類是否有算法，還研究算法可以有多快，即它涉及多少步（作爲輸入大小的函數）。如果你看一下邏輯期刊，你會發現投稿人通常來自數學、計算機科學和哲學等多個學科。
由於邏輯是確定演繹是否有效的終極首選學科，人們可能會期望基本的邏輯原則是不容置疑或不證自明的——哲學家過去是這樣想的。但在上個世紀，標準邏輯的每一條原則都被一些邏輯學家或其他人拒絕了。挑戰基於各種理由：悖論、無限、模糊、量子力學、變化、開放的未來、被抹去的過去——應有盡有。提出了許多替代的邏輯系統。與預測相反，另類邏輯學家並沒有瘋狂到難以理解的地步，而是比一般的陰謀論者要理性得多;人們可以與他們就替代系統的優缺點進行有益的爭論。邏輯學中存在着真正的分歧，就像所有其他科學一樣。這並不使邏輯變得無用，就像它使其他科學變得無用一樣。它只會讓情況變得更加複雜，當人們仔細觀察任何一點科學時，往往會發生這種情況。在實踐中，邏輯學家一致認爲足以取得巨大進展。大多數替代邏輯學家堅持認爲經典邏輯在普通情況下已經足夠有效。（在我看來，所有對古典邏輯的反對都是不合理的，但那是另一天的事了。
邏輯的特徵不是一個特殊的確定性標準，而是一個特殊的普遍性水平。除了在監管演繹論證中的作用之外，邏輯還可以辨別現實中最抽象的結構性模式。一個簡單的例子是：一切都是自相同的。前面提到的各種邏輯發現反映了更深層次的模式。與一些哲學家所聲稱的相反，這些模式不僅僅是語言約定俗成。無論我們多麼努力，我們都無法使某些東西變得不相同。我們可以用 “身份 ”這個詞來指代其他的東西，但這就像試圖用 “引力 ”這個詞來表示其他的東西來戰勝引力。邏輯定律並不比物理定律更取決於我們。
瞭解更多時間深度剖析，盡在於此@黃先生斜槓青年
商業諮詢和顧問業務，請@yellowscholar
關注我，帶你先看到未來！♥
轉載聲明：除調整格式外，不得對原文做改寫、改編。原創不易，謝謝！E-mail:yellow@aliyun.com
♥聲明：本文爲原創文本，非生成式，轉載請註明出處！
商務諮詢/顧問/請@yellowscholar♥作者：黃先生斜槓青年