數學與數學建模

我們生活在一個繽紛的世界裡，這個世界裡的一切在我們看來理所當然：每天差不多 24 小時、太陽落下還會升起、七天過完就是一週、熱脹冷縮冷暖自知。

但是如果認真思考起來，我們似乎又對一切一無所知。

請大家回憶正整數，我們覺得它似乎是人類已知最簡單的數學對象。幼兒園的小朋友就能夠輕鬆計算 1+1=2、2+1=3、3+1=4。但是請問：正整數的定義是什麼？

我們看到 1 個蘋果，爲什麼就稱之爲 1 個蘋果？再拿來 1 個蘋果，爲什麼就變成 2 個蘋果？爲什麼換成 2 個橘子數量依然是 2？1 個蘋果和 1 個橘子放到一起又如何？

我們似乎默認於正整數的諸多方便屬性，習慣於將其歸結爲我們的視覺抽象，從而當我們看到孤立的個體時，我們稱其數量爲 1；當我們看到兩個互相分離的個體時，我們稱其數量爲 2。這種方便的抽象便於我們思考和交流，乃至於我們默認這是貫通於整個宇宙的統一法則。

但是讓我們想象另一種文明，他們沒有視覺，依靠觸覺來感受物體，那麼他們以什麼機制來區分物體從而抽象出數字 1 和 2 呢？如果這種文明連觸覺也沒有，而是依靠電磁波來感知世界呢？在他們看來，兩個分離的物體之間真的就空無一物嗎？沒有磁場嗎？沒有干涉和衍射嗎？我們何以確定另一個地外文明能夠和我們以同樣或者等價的數學語言交流信息呢？

歷史上有很多數學家思考過這個問題，他們希望通過嚴格的邏輯語言給正整數下一個定義，脫離人的一切先驗假設，得到一個宇宙的真理，可惜這項工作直到今天也沒有成功。哲學家康德在他里程碑式的著作《純粹理性批判》中，認爲數學的建立基礎不可能是純粹邏輯，還應包含人的“先驗綜合判斷”[1]，這個看法後來被龐加萊通過“全歸納原理不可能由邏輯推出”論證爲確實[2]。這種觀點直接影響了隨後兩個世紀至今的數學和科學發展。羅素和希爾伯特等數學家反對這種看法，他們這派被稱爲邏輯主義；龐加萊等數學家贊同康德的觀點並予以發展，他們這派被稱爲直覺主義；龐加萊同情羅素而批評希爾伯特，這兩個派別的分歧被更多的數學家繼承下來，直到今天也沒有熄滅。

如果有一天某個外星文明造訪地球，和我們互換各自文明裡值得驕傲的典範例子，我想至少應當包括邏輯主義與直覺主義的這場爭論。原因非常簡單：這場曠日持久的爭論，不是源自於對於牛奶和麪包的爭搶，不是源自於對於名聲和職位的渴望，而是源自於對人類文明來意和去向的關照。

正因如此，我們人類文明纔可以驕傲地宣稱：我們也可以進行文明尺度上的思考！

讓我們再來舉一個文明尺度上思考的例子，這個例子出現在龐加萊的名著《科學與假設》一書中[3]：假設有一個文明，生活在一個類似於地球的球體上（我們暫且也稱之爲地球），但是外面被包裹着一個大過地球很多的透明球狀外殼（我們暫且稱之爲天球），從而在我們的眼中來看他們生活在兩個同心球的夾層當中。假如這個夾層有一種物理屬性，越靠近地球，則溫度急劇升高；越遠離地球，則溫度急劇降低。再假定這個文明中的人種和物品都有一種屬性：熱脹冷縮，而且受溫度變化的影響遠遠比我們的世界更加敏感。在這樣一個世界裡，有一位學者，他希望告訴人們這個世界是有界還是無界的。他勇敢地乘坐一艘飛船，垂直於地面飛向天空。假設這位學者具有永恆的生命且這艘飛船具有永恆的動力，我們來想一想他會面臨什麼樣的狀況？

事實上，因爲在這個世界裡，距離地球越遠，溫度越低，而由於高敏感性熱脹冷縮的設定，隨着溫度降低，飛行器以及這位學者都會急劇縮小。所以類似於 1/2+1/4+1/8+......永遠遞增逐漸靠近但始終無法達到 1 一樣，這個學者很可能永遠都飛不到天球的邊界。那麼他會得到什麼結論呢？他會說：這個世界是無界的。

圖 1 歐式幾何的視角中有界的天球在非歐幾何的視角中可能無界.

站在我們的視角上，這位學者的結論是荒謬的；而站在他的視角上，又何嘗不會覺得我們說他的世界有界纔是荒謬的呢？我們又如何能證明，我們的世界在另一個文明眼中，不是像這個文明在我們眼中一樣的情景呢？我們又如何能證明我們的宇宙是有界還是無界的呢？

實際上，在我們和他們的世界裡，都能創造出各自不同的幾何學：我們世界裡的幾何學被稱爲歐氏幾何，它描述一個剛性物體（即大小和形狀不變的物體）的運動，因爲我們世界裡的熱脹冷縮相對遲鈍；但是在剛纔那個文明中，他們也能發展出一整套沒有矛盾的幾何學說，稱爲非歐幾何。在非歐幾何中，距離中心越遠，單位長度就越小。正如我們可以用我們的歐式幾何學觀點去描述他們的世界一樣，他們也能利用他們的非歐幾何學觀點描述我們的世界。兩套截然不同的幾何學具有完全不同的性質，但是卻可以互相描述、互相翻譯。正是這樣的思考，使得我們具有了跨越文明交流的能力。

我們再想象一個在不規則二維曲面上生活的文明，你可以想象他們生活在一張不規則彎曲的 A4 紙面上。在他們的世界裡無法理解物體的剛性運動，因爲任何物體如果不改變彎曲程度，在運動時就會脫離他們所處的曲面，從而在他們看來就像是從世界中憑空消失了一樣。所以他們世界中的運動往往需要改變物體的形狀和曲率才能辦到。這個世界裡的幾何學被稱爲黎曼幾何。

將二維提升到三維，我們又如何確保自己的世界不是一個局部上近似於歐式幾何，但是從宇宙尺度上卻是黎曼幾何的世界呢？實際上，黎曼幾何是愛因斯坦廣義相對論的標準承載結構。

圖 2 黎曼幾何的世界裡因爲曲率不平坦，剛性運動不一定被允許.

歐氏幾何、非歐幾何和黎曼幾何，都是數學建模的產物。在當代，它們已形成了幾何學研究的三個主要範疇，在不同的尺度和領域上發揮着解釋性、結構性和啓發性的作用。從廣義上講，幾乎所有的數學，包括微積分、羣論、拓撲學、交換代數、複分析、概率論等等，都是數學建模的產物。當然這些數學模型在建立之後又走出了很遠，往往和它們建立之初的樣子大相徑庭。

從上面的例子中我們可以得到如下五個觀點：

現在我們對數學有了一些可能不同於以往的新的認識。大家現在是數學的學習者，將來也不一定會成爲數學家。實際上，如果中國所有的學生將來都成爲數學家，在這件事實現的第二天，中國就會亡國。我們不僅需要傑出的數學家和科學家，更需要更多的具有數學素養，可以將想法通過數學實現出來的工程師和一線產業工人，需要可以支撐這些項目的負責任的企業家和金融家，需要能將人類文明傳承下去的教師和作家。

換句話說，我們需要你成爲你自己——成爲一個可以創造屬於你的獨特價值的，能感受文明並幸福生活的，不焦慮、不委屈、有擔當、內心充盈的你自己。

我們的教育，無論是從學科還是從社會需要的層面上，都不是爲了培養僅僅能在做數學題時才能夠想得起來使用數學的“做題家”。

尤爲關鍵的一點是：無論是想成爲數學家，還是想成爲使用數學解決問題的一般數理工作者，還是想成爲享受數字時代技術紅利的新生代創業者，像上面例子中所描述的那種從無到有，從好奇心出發、追求心智上雅緻的統一的思考體驗，都是十分必要且寶貴的。同學們作爲中學生可能無法解決人類文明中深沉而重大的前沿問題，但是大家可以嘗試着去思考一些身邊看到的問題。

但是問題都從哪裡來呢？

某一天我在家裡口渴，拿起我喜愛的一個工藝水杯喝水。這個工藝水杯近乎於半球形且杯壁很薄。我在喝水時沒法做其它的事情，覺得無聊，就透過水麪去看演草紙上的幾何圖形，我發現這些幾何圖形透過盛水的半球形水杯時發生了形變。我對此突然產生了好奇，就希望瞭解這種形變到底能將什麼樣的圖形變成什麼樣。於是我利用立體幾何、解析幾何和導數建立一個數學模型並寫成一篇文章，收錄在我明年即將發表的第二本書當中。

圖 3 圖形透過半球形的水杯發生形變.

還有一天，我和我愛人去逛故宮，看到故宮的一段城牆很長，好奇它到底有多長？我身上沒有帶尺子和其他測量工具。我當然可以用腳丈量，但是這樣就需要我來回走很多次以降低單次丈量的誤差，這個運動量不小。我就在想是否可以藉助相似三角形，藉助我的手臂長度、拇指長度和城牆高度這幾個可以通過和我的身高比對估計出來的量去建立一個數學模型，從而不需要走動就可以計算出城牆的長度呢？而計算出來的長度，又受這些估計量的誤差有多大的影響呢？這個例子在今年 8 月份我在給北師大研究生講課時還用到過。

圖 4 如何不必走動測量城牆長度？

另一個例子同學們日常就遇到過，我們有時需要用手機掃描試卷，或者掃描某個幾何圖形。大家有沒有發現，在某些時候，如果我們拍攝的角度有明顯的傾斜，或者卷面有明顯的褶皺，以至於本來應該是矩形的試卷在畫面中呈現梯形或不規則多邊形，雖然有的軟件會自動判定試卷邊界並將其通過變換調整回矩形，但是試卷上幾何圖形中的各種角度並不會隨着這種變換恢復爲試卷中原來的樣子——原來的直角不見得還是直角，原來的 60 度不見得還是 60 度。那麼有沒有什麼辦法能夠幫助我們將掃描出來的幾何圖形還原呢？實際上這也是可以的，需要使用大家以後會學到的複變函數。

圖 5 不同的整形方式不一定保持圖形的結構信息（例如夾角）不變.

更多例子數不勝數：如何設計高鐵行李架的形狀，使得物品隨意放上去就能自然平衡？如何爲博物館安裝防盜攝像頭？如何給帶有霧霾的圖片去霧霾？草原上狼以兔子爲食，爲什麼持續捕殺兔子會導致狼的數量減少而兔子的數量反而增多？如何將一個幾何圖形嵌入到某一個曲面上而保持測地距離不變？如何分組混檢以提升大規模核酸檢測的效率和準確性？甚至如何利用二八定律降低某項社會改革的推動成本？這些都可以通過建立適當的數學模型予以解決。今年我有位高三學生叫劉奕池，她建立了一個數學模型，來分析二孩和三孩政策對人口結構和人們生育意願的影響，並依據計算結果提出政策建議。她的這篇文章在今年的 11 月初進入了清華大學丘成桐數學獎的決賽答辯。

我們剛纔舉了這麼多利用中學知識就可以建立、分析並求解的數學模型，那麼數學建模的一般步驟是什麼呢？具體來說，分爲“發現問題”、“提出問題”、“基本假設”、“建立模型”、“求解模型”和“檢驗模型”這六個步驟。這些步驟從阿基米德（公元前 287 年-公元前 212 年）時代就已經確定，與其說是數學建模的步驟，不如說已經成爲數學研究和科學研究的一種基本範式。

需要注意的是，在上述六個步驟中，最重要的並非是“求解模型”，也往往不是“建立模型”，而是“發現問題”、“提出問題”和“基本假設”。初學者往往會對這最重要的三步掉以輕心，因爲他們會覺得只有在紙面上寫下大量的數學式子才能讓自己相信研究是有“進展”的——這隻能說是一種自欺欺人的麻醉，無異於慢性毒藥——自然界包含着無窮多的現象，一個現象又往往包含着無窮多的事實，從這無窮多的現象的無窮多的事實中，發現可以啓迪智慧發現大自然本質規律的那些，無異於大海撈針，其難度和價值可想而知；而即使發現了問題，如何定位其主要矛盾而做出適當的數學抽象，以適當的形式提出這個問題，並做出類似於公理一樣的基本假設，更是一種藝術。而相較於前三步，“建立模型”和“模型求解”只需要利用紮實的數學功底沿着問題提出的方向，從當前有限的數學工具中去演繹即可，雖然多數時候也很困難，但是其難度不可與“發現問題”、“提出問題”和“基本假設”相提並論。

另一個需要強調的步驟是“檢驗模型”，它是從現有問題的解決方案中發現尚未解決的更深刻方面的必要步驟。初學者常犯的錯誤是覺得“檢驗模型”無足輕重。這實際上是科學精神的缺乏和研究目的的迷茫所導致。實際上，科學的進展就是不斷髮現解決之餘的例外。如果一個人和你講：科學研究就是解決問題。那麼這個人要麼是科學研究的門外漢，要麼是別有用心。科學研究的目的不是解決問題，這就好像學習的目的不是爲了考大學和找工作一樣——科學研究的目的是從一個相對錶象的問題走向另一個隱藏在其背後的更深刻的問題，這才誕生了科學研究無窮無盡的生命力。任何一個合格的數學家絕對不會夢想去窮盡一個領域的所有問題的解決，因爲這件事做成的那一刻，也就是這個領域被宣告死亡時刻——沒有了問題，也就喪失了所有的生命力。所以我們可以簡要地講：科學研究的過程是在不斷地解決問題，而解決問題的目的，就是爲了發現餘下尚未解決的更深刻的問題。解決問題是爲了發現問題，而非本末倒置。就像考大學的目的是爲了學習，而不是學習的目的是爲了考大學一樣。學習的目的永遠只有一個，就是爲了學習本身。所以我們才能講“活到老學到老”。現在總有人鼓吹努力學到 30 歲賺夠了知識資本就不再學習，就好像 31 歲就要撒手人寰了一樣，這樣的人無法理解“活到老學到老”這句話背後的邏輯。

這個世界是繽紛多彩的，數學也是。我們所學的數學知識就像探照燈，幫我們在繽紛的世界裡尋找現象背後的本質規律、欣賞數學花園裡的瑰麗景色。希望同學們能將所學的知識內化爲具有自己獨特風格的、因人而異的不同探照燈，從而在文明裡記錄下屬於你們每個人不一樣的歷程。

請同學們永遠記住：數學乃至一切科學的歷程，註定都是由人來書寫的；而你，作爲人類文明裡現實存在的一員，是這段歷程中不可或缺的一份子！

參考文獻：

[1]康德著, 李秋零譯, 康德三大批判合集, 北京:中國人民大學出版社, 62-64, 2016.9.

[2]昂利·彭加勒, 科學與方法, 北京:商務印書館, 110-123, 2010.1.

[3]昂利·彭加勒, 科學與假設, 北京:商務印書館, 58-61, 2006.8.