從近視宅男買早餐到彭羅斯逆矩陣（2）逆矩陣｜N文粗通線性代數

不少同學在初學線性代數時感到迷茫、痛苦，體會不到課程的實際意義。這很大程度上是因爲，教材爲了由淺入深、循序漸進，須從基礎的抽象概念講起，而真正直觀的部分，往往要等到後面的細分領域或具體應用。於是初學者往往知其然，不知其所以然；只見樹木，不見森林。希望本文能讓你換個視角，以輕鬆有趣的日常眼光，看到一個不一樣的線性代數。

本文是系列文章《N文粗通線性代數》的第二篇，通過矩陣初等變換來引入矩陣的逆及其性質。主要思路是：消元法求解線性方程組→線性方程組的初等變換→矩陣的初等行（列）變換→化矩陣爲“標準形”，從而可以輕易地寫出解。

撰文 | 吳進遠

上回書說到，某近視宅男，某日下樓到早點鋪買早餐。眼鏡忘在家裡，看不清黑板上寫的價目。於是，宅男就一邊排隊，一邊聽着前邊顧客買早點的品種數量，和服務員小妹報的總價，據此計算各種早點品種的單價。

爲了方便讀者理解，我們把幾位顧客的購買數據列成下面一個表：

（1）（可逆）矩陣乘法的逆運算

說了半天，該我們的近視宅男登場了。

他需要根據排隊時聽到的交易數據，算出每一種食品的單價。這就是說，他要求出一組多元一次方程的解。

這樣一個方程組，也可以寫成矩陣的形式，只不過，現在每一種食品的單價是未知數。

換句話說，他要做（可逆）矩陣乘法的逆運算。

（2）單位矩陣

一般而言，做逆運算比做正向的運算要難，（可逆）矩陣的逆運算也不例外。不過我們可以通過我們的直覺與經驗，獲得一些啓發。

比如趕巧了，前面三個顧客：

第一位買了一個油餅，“3元”——服務員小妹報價；

第二位買了一個茶葉蛋，“4元”；

第三位買了一碗豆腐腦，“7元”。

這樣一來，我們不費吹灰之力就知道了三種食品的單價。用矩陣乘法寫出來，就是：

這種左上到右下對角線元素爲1，其他非對角線元素都爲0的矩陣，叫做單位矩陣，有時也稱恆等矩陣。單位矩陣通常用字母I表示，也有教科書或文獻用E或者U表示的。單位矩陣與任何其他矩陣相乘，結果與原矩陣相等。就像用1乘以任意實數，結果都與原數相同。

（3）對角矩陣

像上面這麼巧的事很難碰上，我們可以將條件放寬一些，每個顧客不限定必須買一份食品。

比如一個顧客買了3個茶葉蛋，花了12元，等等。

這種情況也難不倒我們，只要做簡單的除法，就能算出茶葉蛋的單價。

這種情形對應的矩陣叫對角矩陣，其中只有對角元素不是0，其他非對角元素都是0。前面談到的單位矩陣是對角矩陣的特殊情況。

（4）上三角矩陣

實際上，對角矩陣這種情形需要三位顧客都只購買一種食品，這個條件仍然太苛刻。我們可以把條件進一步放寬：設想一位顧客購買了一種食品，另一位購買了兩種，再一位購買了三種。

比如，第三位只買了豆腐腦，

第二位買了茶葉蛋和豆腐腦，

而第一位買了所有三種食品。

寫成矩陣乘法，就會呈現下面這個樣子：

這個矩陣叫上三角矩陣，它只有對角線以及上部元素可能不是0，而下部的非對角元素都是0。在這個情形下，想計算各個食品的單價也很容易。

從第三筆交易，我們用一次除法，就可以算出豆腐腦的單價。

再看第二筆交易，既然豆腐腦的單價知道了，茶葉蛋的單價也不難算出來。

接着看第一筆交易，雖然顧客買了所有三種食品，但其中兩種的單價已經算出來了，因而只剩下一個未知數，也很容易算出來。

（5）消元法

不過，理想豐滿現實骨感，在一般的情況下，我們可能碰不到這些容易計算的情況。

因此，我們需要把一般的交易，通過某種運算，變換成上面談到的這些容易計算的情形，最終得到未知數的解。

比如我們開頭談到前三位顧客實際的交易，構成了三個三元一次方程。一次方程有時也叫線性方程。

我們的任務，是通過解這個線性方程組，求出它的三個未知數。

根據前面的提示，在求解中，我們應該儘量把非對角的元素，也就是方程組中左邊非對角的係數變成0。

我們中學裡學過解線性方程組的消元法，就是把一個方程左右兩邊，同時加減另一個方程的某個倍數，就可以把其中一個未知數的係數消成0。

比如：(2)-2*(1) ，(3)-3*(1)，就可以把第二、第三兩個方程的第一個係數消掉

我們再回過頭去看一下宅男思考的那張圖，就能慢慢體會其中思路。

注意他把第二行和第三行原來的黑字劃掉，寫上了對應的藍字，就反映了這樣一個計算過程。

進一步，通過 (3')-(2')，就可以把第三個方程中的第二個係數消掉（對應於圖中第三行劃掉藍字，寫上紫字）：

但如果有草稿紙，普通同學也能算出來。

這種消元的過程，可以看成是根據已知顧客的交易數據，組合出一些虛擬顧客的虛擬交易，以方便我們算出各個食品的單價。

（6）線性組合與線性相關

以上運算是把方程組中的係數拿來乘以一定的倍數再互相加減，我們通常把這種運算叫線性變換。得出的結果叫原來方程的線性組合。而這樣得到的新方程與原來的方程組線性相關。過去有句話叫“線性相關，真是一關”。現在我們打怪升級，算是過了這一關的一小半。

線性組合是矩陣乘法的拿手好戲，像我們前面說的消元運算，可以很簡單地寫成矩陣的乘法。

我們把線性方程組(1) (2) (3)等號兩邊的係數拼在一起，構成一個增廣矩陣：(A|y)。

（7）逆矩陣

類似B這種矩陣，它和A相乘，得到單位矩陣I。我們把B稱爲A的逆矩陣。很多

不過，這裡提醒讀者不要把這個-1的上標與倒數或-1次方混淆，逆矩陣不是通過簡單的除法算出來的。

逆矩陣只有正方矩陣可能有。這意味着要求出N個未知數，必須有N個方程，或者說N個約束條件。方程（約束條件）多於或少於未知數個數都會給我們的求解運算帶來一些麻煩，我們後面會談到。

不過，並不是所有方陣都有逆矩陣，大家也許學到過，只有滿秩的方陣有逆矩陣。方陣滿秩等價於它的行列式不等於0。

（8）計算機求解矩陣的逆

近視宅男計算食品單價的過程，實際上是求解線性方程組的過程。而求解線性方程組的過程，可以看成是求解A的逆矩陣的過程。

前面介紹的算法聽起來挺麻煩，但現在有了計算機，編好程序讓計算機算就非常方便。大家從網上可以搜到很多矩陣求逆的在線計算器，除了算出結果，還可以幫助我們理解計算的過程。作者沒有近視宅男那麼強的心算能力，於是用網上的在線矩陣求逆計算器試驗了一下，結果如下圖所示。

在上面的計算過程中大家可以看到，計算開始時，程序在原矩陣右邊貼了一個單位矩陣，二者組成一個增廣矩陣。通過消元，把左邊變成單位矩陣，於是右邊就成了原始矩陣的逆矩陣。

最後的結果是：

類似的運算，有些書上叫高斯消去法，但實際上，這種運算方法並不是高斯首創。在高斯之前，牛頓就已經使用類似的方法了。那麼這個方法是不是牛頓發明的呢？好像也沒有看到有科學史文獻提及是他發明的。我最近在一本教科書Basic Linear Algebra(作者是蘇格蘭教授T.S. Blyth和E.F. Robertson)上看到，有一本書“The Nine Chapters on the Mathematical Art”上，就有這樣的消元法。我順着這個線索查了一下，這本書叫《九章算術》，裡面確實有。

在人類智力活動中，類似的例子非常多。前人做出某個成果，後人沒有讀過文獻，於是又重新發現一次。就以我自己爲例吧，我自己早年就有過一個發明，重複了整整100年前前人的發明。更有意思的是，我過了30多年才知道，前人已經在130多年前做出了這個發明。

（8）逆矩陣的一些性質

一個滿秩的方陣A和它的逆矩陣B之間有很多很有用的性質。

比如

AB=I，

而且

BA=I。

你可能覺得，這有什麼可大驚小怪的，就像：

2×0.5=0.5×2=1，

可是問題沒有那麼簡單。一般來說，矩陣乘法是不符合交換律的，只有在一些特殊的情況下，纔會有像這樣可以交換的情形。

我們這裡不做嚴格的證明，僅僅用買早餐這個事來說明一下這兩個關係式是什麼意思。我們仍然假設早餐店賣三種食品，三個顧客購買品種的向量互相線性無關，因此購物矩陣A是一個3×3的滿秩矩陣。根據這個矩陣A，近視宅男可以算出一個逆矩陣B。

對於任意的一組價格x，服務員小妹都可以算出三位顧客的購物金額：

y=Ax。

而反過來，近視宅男可以根據前面三位顧客的購物金額y，反過來算出三種食品的價格：

x=By。

因此：x=B(Ax) = (BA)x。由於這個關係式對任意的價格向量都成立，我們可以證明BA=I（這裡略去500字證明過程）。

反過來，對於任意的一組購物金額y，近視宅男都可以算出三種食品的價格：

x=By。

而服務員小妹則可以根據三種食品的價格x，算出三位顧客的購物金額：

y=Ax。

因此：y=A(By) = (AB)y。由於這個關係式對任意的購物金額向量y都成立，我們可以證明AB=I（這裡略去500字證明過程）。

從AB=I出發，如果在等式兩邊從左邊乘上一個B，我們會得到：

BAB=B。

同樣，在等式兩邊從右邊乘以一個A，可以得到：

ABA=A。

像這樣形狀的兩個關係式，我們今後會多次看到。這裡提醒讀者注意，ABA=A和BAB=B這兩個關係式與AB=I和BA=I不是等價的。我們只能從AB=I或BA=I推出ABA=A和BAB=B。但反過來不行。比如，你不能從ABA=A，兩邊“劃掉”一個A，得到AB=I。

（9）左逆矩陣與右逆矩陣

對於一個矩陣A，假如另一個矩陣B從左邊與它相乘而得到單位矩陣，也就是說：

BA=I，

則矩陣B是A的左逆矩陣。

而如果從右邊乘，得到單位矩陣：

AB=I，

則B是A的右逆矩陣。

對於滿秩方陣，它的逆矩陣既是左逆，也是右逆。但在一般的情況下，比如不是方陣，一個矩陣可能只有左逆或者只有右逆。

爲了方便讀者理解，我們把幾位顧客的購買數據重新列在下表：

我們這個早餐店賣三種食品，表中有四個顧客。對於給定的單價向量x，根據每位顧客購買數目，服務員小妹可以算出四位顧客購物總價組成的向量y。寫成矩陣是：

y=Sx。

這裡顧客購買數目組成的矩陣S有3列4行，它是一個“瘦高”的矩陣。爲了方便讀者注意到這是一個瘦高矩陣，我們特意用S這個拼音字母來代表它。

當這個矩陣是列滿秩的時候，它存在一個左逆矩陣P。利用這個左逆矩陣，近視宅男可以根據顧客購物總額向量y，反算出單價向量x，即：

x=Py。

這個左逆矩陣P有4列3行，它是一個“矮胖”的矩陣。爲了方便讀者注意到這是一個胖矩陣，我們特意用P這個字母來代表它。

對於任意價格向量x，服務員小妹算出顧客購物總額Sx，然後近視宅男可以反向算出價格向量：

x=P(Sx)。

因此P這個操作可以逆轉抵消S這個操作，我們可以證明：

PS=I，

P是S的左逆。通常情況下左逆P可能不是唯一的，我們可能會根據其他條件從許許多多左逆中挑一個。

在服務員小妹算出的顧客購物總額y=S x之中，所有購物額都是靠譜的，沒有互相矛盾的情形，以此爲基礎，宅男才能算出正確的價格x=P(S x)。但如果基於任意顧客購物總額向量y1 情況就不一定了。比如某個顧客可能信口開河說這頓早餐花了200元，這樣一來所有的計算就都亂了。

左逆矩陣與右逆矩陣是更寬範圍內的廣義逆矩陣中的兩種特殊情況，我們後面會討論到。（未完待續）

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